2024-11-25 09:30:39
立体几何是高考必考的考点之一，其分值占比高，难度略大，是众多考生反映的难点之一，本节着重展现有关立体几何的重要知识点，包括点、线、面的位置关系，即平行和垂直关系，包括线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等，还有有关棱柱、棱锥、棱台、圆锥、圆柱、圆台、球等体积和侧面积的计算公式。
1.1空间几何体
一、旋转体
1、定义
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体。
2、分类
（1）球
①定义
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
②球面距离
球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度，我们将这个弧长叫做两点的球面距离。
③表示
用表示球心的字母表示。可表示为球O.
（2）圆柱体
①定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴称之为圆柱的轴，轴的长度称之为高，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，在任何位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。
②表示
用表示轴的字母来表示，如上图，可表示为圆柱OO′。
③性质
ⅰ两底面是全等的圆。
ⅱ侧面展开图是矩形。
ⅲ过任意两条母线的截面是矩形。
ⅳ平行于底面的截面是与两底面全等的圆。
（3）圆锥体
①定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
②表示
用表示它的轴的字母表示，可表示为圆锥SO。
③性质
ⅰ平行于底面的截面是与底面相似的圆面。
ⅱ过任意两条母线的截面是等腰三角形。
ⅲ侧面展开图是扇形。
（4）圆台体
①定义
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
②表示
用表示它的轴的字母来表示，可表示为圆台OO′。
③性质
ⅰ平行于底面的截面是圆面。
ⅱ过任意两条母线的截面是等腰梯形。
ⅲ侧面展开图是扇环。
二、多面体
1、定义
由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个面叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点，连接不在同一平面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。
2、分类
（1）棱柱
定义：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。棱柱与圆柱统称为柱体。
分类：
ⅰ按侧棱与底面的关系分：
斜棱柱：侧棱不垂直于地面。
直棱柱：侧棱垂直于底面。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
ⅱ按底面多边形的边数分
三棱柱、四棱柱、五棱柱……
性质：
ⅰ侧棱都相等，侧面是平行四边形。
ⅱ两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
ⅲ过不相邻的两条棱的截面是平行四边形。
直棱柱的性质：
ⅰ侧棱垂直于底面，且其长为高的长度。
ⅱ侧面为矩形。
ⅲ经过不相邻的两条侧棱的截面是矩形。
（2）棱锥
定义：
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，则就称为正棱锥。棱锥与圆锥统称为锥体。
性质：
ⅰ侧面是三角形，底面是多边形。
ⅱ如果棱锥被平行于底面的平面所截，则棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段，并且截面和底面是相似多边形。
ⅲ在被平行于底面的平面所截时，截面面积和底面面积的比，等于截得棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。
ⅳ在被平行于底面的平面所截时，截得棱锥的侧面积和已知棱锥侧面积的比，等于截得棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。
正棱锥的性质：
ⅰ各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形。
ⅱ各侧面等腰三角形底边上的高称为斜高，其均相等。
ⅲ棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。
ⅳ棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影组成一个直角三角形。
分类：
按侧棱数（底面多边形的边数），可分为三棱锥（四面体）、四棱锥、五棱锥……
（3）棱台
定义：
用平行于底面的平面截棱锥，截面和棱锥底面的部分叫棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其它各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫棱台的侧棱，两底面的距离叫棱台的高。由正棱锥截得的棱台叫正棱台，正棱台各侧面的高叫正棱台的斜高。棱台与圆台统称为台体。
性质：
ⅰ侧面是梯形，两底面是相似多边形。
ⅱ过不相邻的两侧棱的截面是梯形。
ⅲ平行于底面的截面是与两底面相似的多边形。
分类：
按侧棱数（底面多边形的边数），可分为三棱台、四棱台、五棱台……
三、直观图
即在平面上反映空间图形，其画法采用斜二测画法，具体步骤如下：
1、 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O，画直观图时，把它们化成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°，它们确定的平面表示水平面。
2、 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段。
3、 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
四、三视图
1、主视图、左视图、俯视图。
2、俯视图和主视图长度一样，主视图和左视图高度一样，俯视图和左视图宽度一样。
1.2空间中点、线、面等的位置关系
一、点、线、面等的位置关系
1、点与直线的位置关系
（1）点在直线上。 （2）点在直线外。
2、点与平面的位置关系
（1）点在平面内。 （2）点在平面外。
3、两条直线的位置关系
（1）平行直线。 （2）相交直线（只有一个公共点）。
（3）异面直线：不同在任何一个平面内的直线。
4、直线与平面的位置关系
（1）直线在平面内。 （2）直线和平面相交（只有一个公共点）。
（3）直线和平面平行。
5、平面与平面的位置关系
（1）平行平面。 （2）相交平面。
二、空间图形的公理与定理
1、公理
（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
（2）经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（3）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
（4）平行于同一条直线的两条直线平行。
2、定理
（1）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面。
（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。
（4）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
三、线、面等相互之间的夹角
1、异面直线间的夹角
已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O,作直线a′∥a,b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。其范围为（0°,90°]。
2、异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直。
3、直线与平面的夹角
一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线PA，叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，则过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线PA在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，其取值范围为[0°,90°],0°包括线面平行或线在平面内。
4、二面角
一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱为AB，面为、的二面角，记作二面角-AB-，也可在棱以外的半平面部分分别取点P、Q，将这个二面角记作P-AB-Q。
5、二面角的平面角
在二面角-l-的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OP和OQ，则射线OP和OQ所成的∠POQ叫做二面角的平面角。其取值范围为[0°,180°]。
6、直二面角
平面角是直角的的二面角叫做直二面角。
三、线、面等相互之间的平行与垂直
1、线面平行
（1）判定定理
①若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
②如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行。
③如果一条直线平行于两个平行平面中的一个，那么这条直线也平行于另一个平面或在这个平面内。
④如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面或在这个平面内。
⑤两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（2）性质定理
①如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行。
②如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线与两个平面的交线平行。
③如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点，与这条直线平行的直线，必在这个平面内。
④如果一条直线与一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等。
2、线面垂直
（1）定义
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直。直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，垂直时唯一的公共点叫做垂足。
（2）判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
（3）性质定理
①垂直于同一个平面的两条直线平行。
②如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直与此平面中的任何一条直线。
3、面面平行
（1）判定定理
①如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
②如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
（2）性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
4、面面垂直
（1）定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理
① 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
②一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则和另一个也垂直。
（3）性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
5、三垂线定理及其逆定理
（1）三垂线定理
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直。
（2）三垂线逆定理
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则平面内的这条直线垂直于平面外这条直线在该平面的投影。
1.3几何体的表、侧面积、体积
1、柱体
（1）S=ch （2）S=2πrl （3）V=Sh （4）V=πrh
2、锥体
（1）S=ch′ （2）S=πrl （3）V=Sh （4）V=πrh
3、台体
（1）S=(c+c′)h′ （2）S=π(r+R)l
（3）V=(S++S)h （4）V=π(R+Rr+r)h
4、球体
（1）S=4πR （2）V=πR
以上的c表示下底面周长，c′表示上底面周长,h表示高
