01、二次函数的图像与性质

a的符号决定开口方向，|a|决定开口大小

① a＞0抛物线开口向上；a＜0抛物线开口向下.

② |a|越大，开口越大，|a|越小，开口越小

抛物线的上下平移

① 抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2，形状相同，只是位置不同．② 函数y=ax2+k的图象可由函数y=ax2的图象经向上或向下平移得到．

当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由函数y=ax2的图象向上平移得到k个单位得到；

当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由函数y=ax2的图象向下平移得到k个单位得到．

③ 抛物线y=ax2+k的对称轴仍是y轴（x=0）．

④ 抛物线y=ax2+k的顶点坐标为（0,k）．

【方法】口诀：“上加下减，上下平移在末梢”．

抛物线的左右平移

① 抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2，形状相同，只是位置不同．

② 函数y=a(x-h)2的图象可由函数y=ax2的图象经向左或向右平移得到．

当h>0时，函数y=a(x-h)2的图象可由函数y=ax2的图象向右平移得到h个单位得到；

当h<0时，函数y=a(x-h)2的图象可由函数y=ax2的图象向左平移得到|h|个单位得到．

③ 抛物线y=a(x-h)2的对称轴是x=h．

④ 抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标为(h,0)．

【方法】口诀：“左加右减，左右平移在括号”．

02、二次函数解析式确定

顶点式：y=a(x-h)2+k

当已知二次函数图象的顶点坐标（h,k）及经过另外一个条件时，设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k（k≠0），

再利用其他条件求出a的值，

从而求得函数解析式y=a(x-h)2+k．

一般式：y=ax2+bx+c

当已知二次函数的图象上的三点坐标（x1,y1）、（x2,y2）、（x3,y3）时，且a、b、c都为未知数时，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c (a≠0)，

再代入三点的坐标得三元一次方程组

解方程组可以唯一确定a、b、c的值，

从而求得函数解析式y=ax2+bx+c．

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)

当已知二次函数与x轴的两个交点(x1,0) ,(x2,0)的坐标时，设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)，

再利用其他条件求出a的值，

从而求得函数解析式y=a(x-x1)(x-x2)，

最后将交点式y=a(x-x1)(x-x2)化简为一般式．

03、判断点与圆的位置关系

经过一点的圆

只要以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出过点A的圆，这样的圆有无数个．

过三点的图

①同一直线上的三点不能作圆

②经过不在同一直线上的三点A、B、C，有且只有一个圆．

不在同一条直线上的三点确定一个圆．

圆心在线段AB、BC、AC的垂线平分线的交点O上，

以O为圆心，OA（或OB、OC）为半径可作出经过A、B、C三点的圆，这样的圆有且只有一个．

三角形外接圆

经过任意三角形三个顶点可以作出一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形．

三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，是三角形三边垂直平分线的交点．

三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径．

04、切线的判定方法

定义法

和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．

距离法

圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．

当题目欲求证的直线没有明确说明经过圆上的点时，一般用此方法．方法：作垂直、证半径．

过点O作OH⊥MN于H，证明OH=r即可推出MN为⊙O的切线．

判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

当题目欲求证的直线经过圆上的点时，一般用此方法．

方法：连半径、证垂直．

连接OA，证明OA⊥MN即可推出MN为⊙O的切线．