2024-11-24 09:30:39
在对有理分式函数求不定积分之前，通常都要对分式进行分解。因为目前比较常用的分式不定积分公式，只有分母是一次整式的幂，或二次整式的幂两种形式的真分式的不定积分公式。因此我们要把那些分母在三次以上的分式，分解成一系列符合上面两种形式的真分式的和。这就是对分式裂项分解的一个过程。或称为部分分式分解。
为此，我们要先明确有理函数的概念：由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为：
R(x)=(P(x))/(Q(x))=(α0 x^n+α1 x^(n-1)+…+αn)/(β0 x^m+β1 x^(m-1)+…+βm)，
其中n,m∈N，α0,α1,…αn与β0,β1,…βm都是常数，且α0β0≠0.
即分子是一个n次多项式P(x)，分母是一个m次多项式Q(x)，构成的函数，就是有理函数R(x)。如果m>n，即分母的次数更高，就称它为真分式，如果m<=n，即分母的次数不高于分子，就称为假分式。这两个概念可以类比真分数和假分数。
因此，和分数类似的，假分式可化为整式与真分式的和。所以我们在进行分式部分分解时，如果原分式是假分式，就要先把这个假分式化为整式与一个真分式的和。因为我们主要关注的是那些最简的真分式。即无法继续约分的真分式。真分式表示为若干个部分分式之和，这个过程就称为部分分式分解。
下面我们来了解一下真分式部分分式分解的一般步骤：
第一步：对分母Q(x)在实系数内作标准分解：(分解前先化β0=1)
Q(x)=(x-a1)^λ1*(x-a2)^λ2…(x-as)^λs)(x^2+p1x+q1)^μ1…(x^2+pt x+qt)^μt，
其中λi,μj(i=1,2,…,s；j=1,2,…,t)均为自然数，【即s个一次整式的幂积，乘以t个二次整式的幂积。不过并不是所有整式，都可以分解成这样的形式的。如果分解不了，就不属于这里讨论的范围】
而且∑(i=1->s)λi+2∑(j=1->t)μj=m;【只有最高次数保持不变，才能保证分解之后结果恒等】
pj^2-4qj<0, j=1,2,…,t.【即每一个二次整式因式都无法继续分解】
第二步：根据分母各因式分别写出与之相应的部分分式：
(1)对每个形如(x-a)k的因式，对应的部分分式是：
A1/(x-a)+A2/(x-a)^2 +…+Ak/(x-a)^k.
(2)形如(x2+px+q)k的因式，对应：
(B1x+C1)/(x^2+px+q)+(B2 x+C2)/(x^2+px+q)^2 +…+(Bkx+Ck)/(x^2+px+q)^k .
第三步：运用待定系数法确定系数.
下面看一道例题：对R(x)=(2x^4-x^3+4x^2+9x-10)/(x^5+x^4-5x^3-2x^2-4x-8)作部分分式分解.
解：Q(x)=x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8=(x-2)(x+2)^2(x^2-x+1),
R(x)=A0/(x-2)+A1/(x+2)+A2/(x+2)^2+(Bx+C)/(x^2-x+1). 【通分相加之后，分子恒等】
P(x)≡A0(x+2)^2(x^2-x+1)+A1(x-2)(x+2)(x^2-x+1)+A2(x-2)(x^2-x+1)+(Bx+C)(x-2)(x+2)^2
=(A0+A1+B)x^4+(3A0-A1+A2+2B+C)x^3+(A0-3A1-3A2-4B+2C)x^2+(4A1+3A2-8B-4C)x+4A0-4A1-2A2-8C.
根据分子恒等，列方程组{A0+A1+B=2；3A0-A1+A2+2B+C=-1；A0-3A1-3A2-4B+2C=-1；4A0+3A1-8B-4C=9；4A0-4A1-2A2-8C=-10.
解得：(A0=1; A1=2; A2=-1; B=-1; C=1.
∴R(x)=1/(x-2)+2/(x+2)-1/(x+2)^2-(x-1)/(x^2-x+1).
有时在通分得到分子恒等式之后，可以利用特值法来解决，往往都会比较简便，但不是一定会简便的。具体的方法如下图：
通过这个分解之后，我们就可以求原函数的不定积分了。老黄会在接下来的作品中，继续给大家分析如何求它的不定积分。
